Poisson bracket (nawias Poissona)
Nawias Poissona (ang. Poisson bracket) jest dwuliniową, antysymetryczną operacją definiowaną na przestrzeni funkcji na rozmaitości fazowej w mechanice klasycznej. Odgrywa kluczową rolę w formulacji równań Hamiltona, teorii symplektycznej oraz w procesie kwantyzacji.
Definicja
Niech M będzie rozmaitością fazową o wymiarze 2n wyposażoną w strukturę symplektyczną ω. Dla dwóch gładkich funkcji f, g : M→ℝ, nawias Poissona definiuje się jako
{f, g} = ω(X_f, X_g)
gdzie X_f i X_g są wektorami Hamiltona spełniającymi równania ι_{X_f}ω = df oraz ι_{X_g}ω = dg. W układzie kanonicznym współrzędnych (q_i, p_i) (i = 1,…,n) wzór przyjmuje postać
{f, g} = ∑_{i=1}^{n}\left( \frac{∂f}{∂q_i}\frac{∂g}{∂p_i} - \frac{∂f}{∂p_i}\frac{∂g}{∂q_i} \right).
Właściwości
- Antysymetria: {f, g}= ‑{g, f}.
- Liniowość: {af + bg, h}= a{f, h}+b{g, h}, a,b∈ℝ.
- Tożsamość Jacobi: {f,{g,h}} + {g,{h,f}} + {h,{f,g}} = 0.
- Reguła Leibniza: {f, gh}= {f, g}h + g{f, h}.
- Statyczny charakter: Jeśli H jest energią całkowitą (Hamiltonianem), to dla każdej funkcji f zachodzi równanie ruchu df/dt = {f, H}+∂f/∂t.
Znaczenie w mechanice klasycznej
Nawias Poissona pozwala sformułować równania Hamiltona w postaci
\(\dot{q_i}= {q_i, H},\qquad \dot{p_i}= {p_i, H}\).
Dzięki temu dynamika układu jest opisuje jako przepływ generowany przez wektor Hamiltona, a stałości ruchu (konserwaty) to funkcje, które pochodzą z nawiasu z Hamiltonianem: {f, H}=0.
Geometria symplektyczna
Struktura symplektyczna ω definiuje na rozmaitości fazowej parowanie Poissona, czyniąc z C^∞(M) algebrę Liego (z operacją {·,·}) oraz jednocześnie algę Poissona. Mapa Jacobiego J: TM→T^*M związana z ω przekształca pola wektorowe w różniczki i odwrotnie.
Poisson bracket a kwantyzacja
W procedurze kwantyzacji klasycznej obserwacji funkcje f, g zamienia się na operatory \(\hat{f},\hat{g}\) w przestrzeni Hilberta, a nawias Poissona przechodzi w komutator:
\(\{f,g\}\;\longrightarrow\;\frac{1}{i\hbar}[\hat{f},\hat{g}]\).
Ta zasada, znana jako zasada kwantowej korelacji, jest podstawą mechaniki kwantowej i teorii deformed Poisson algebras.
Historia
Operacja została wprowadzona w 1840 roku przez francuskiego matematyka i fizyka Siméona-Denisa Poissona. Początkowo służyła do badania dynamiki ciał niebieskich w mechanice klasycznej. Sformalizowana została po raz pierwszy w kontekście geometrycznym przez Hermann Weyl i Alfreda N. R. F. Poincaré pod koniec XIX wieku, a w XX wieku stała się elementem teorii Hamiltona i geometrii symplektycznej.
Zastosowania
- Analiza stabilności układów dynamicznych stabilności i chaosu.
- Formulowanie równań pól klasycznych w teorii pól (np. w teorii pól).
- Budowa algebr Poissona w geometrii różniczkowej i topologii (np. struktury Poissona na rozmaitościach).
- Implementacje numeryczne w algorytmach symplektycznych symulacji dynamiki cząstek.
Przykłady
Układ jednowymiarowy z kanonicznymi zmiennymi q, p i Hamiltonianem H= p²/2m + V(q):
- {q, p}=1, {q, q}=0, {p, p}=0.
- Równania Hamiltona: \(\dot{q}=p/m,\quad \dot{p}=-V'(q).\)
Wzór Diraca dla funkcji f(q,p) i g(q,p) w przestrzeni dwuwymiarowej:
{f, g}=∂_q f ∂_p g ‑ ∂_p f ∂_q g.
Powiązane pojęcia
W encyklopedii można także przeczytać o: